چکیده: در این پایان¬نامه پس از یادآوری مفهومw- فاصله در فضای شبه¬متری، مفهوم w- فاصله اصلاح شده (mw- فاصله) روی فضای شبه¬متری را معرفی می¬کنیم. در ادامه یک قضیه نقطه ثابت برای انقباض ¬های تعمیم یافته نسبت به w- فاصله اصلاح شده در فضای شبه¬متری تام به دست آورده، سپس مثال¬هایی درباره کاربرد این قضیه می¬آوریم.

هدف ما در این پایان­‌نامه پیدا کردن بیشینه و کمینه­‌ی منحصر به فرد برای برخی معادلات
‎$‎ -‎p $‎لاپلاسین
روی کلاس­‌های تجدید آرایش‌­هاست.
فرض کنیم
‎$ \Omega $‎
یک زیر مجموعه­‌ی باز و کران­دار از
‎$ \mathbb{R}^{N} $‎
باشد. توابع اندازه‌­پذیر
‎$ f‎, ‎g:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} $‎
را تجدید آرایش یافته­‌ی یکدیگر گوییم هرگاه
‎\begin{eqnarray*}‎
‎\big\vert\lbrace x\in \Omega‎ :‎f(x)\geq \beta \rbrace\big\vert = \big\vert\lbrace x\in \Omega‎ :‎g(x)\geq \beta \rbrace\big\vert &&~~~\forall\beta\in\mathbb{R}‎.
‎\end{eqnarray*}‎
حال اگر
‎$ g_{0} $‎
تابع اندازه­‌پذیر ثابتی باشد،
‎$ G=G(g_{0}) $‎
را کلاس تجدید آرایش یافته­‌های تابع
‎$ g_{0} $‎
می‌گیریم.
در این پایان‌نامه به دنبال کمینه و بیشینه کردن تابعک
‎\begin{eqnarray*}‎
‎B(g,w)=\dfrac{q}{p-q}\int_{\Omega} \left(\dfrac{p}{q}g\vert w\vert^{q}-\vert\nabla w\vert^{p}\right) dx‎.
‎\end{eqnarray*}‎
روی کلاس
‎$G $‎
هستیم. در ادامه نشان می­‌دهیم که نقاط کمینه و بیشینه کننده
‎$ B (g‎, ‎w) $‎
منحصر به فردند.

 هدف ما در این پایان نامه بررسی مسائل بهینه سازی (کمینه و بیشینه کردن )وابسته به یک معادلهp-لاپلاسین باشرط مرزی دیریکله است. وجود ویکتایی جواب را برای مساله مورد نظر تحقیق می کنیم. همچنین یک مساله مقدار ویژه را مورد بررسی قرار می دهیم. هدف دیگر ما یافتن بسشینه مقدار ویژه وابسته به این مساله و اثبات یکتایی آن است.

فرض کنیم X یک فضای باناخ و K یک فضای توپولوژی و هاوسدورف باشد. در این پایان نامه به کمک نقاط فرورفتگی نشان می دهیم هرگاه K نامتناهی باشد، هر زیرمجموعه ناتهی و باز ضعیف نسبت به گوی یکه از فضاهای(C(K,X)، WC(K,X و(*W*C(K,X دارای قطر 2 هستند. در اینجا(C(K,X فضای باناخ از تمام توابع پیوسته از K به X با توپولوژی نرم،(WC(K,X فضای باناخ از تمام توابع پیوسته از K به X با توپولوژی ضعیف و(*W*C(K,X فضای باناخ از تمام توابع پیوسته از K به X با توپولوژی ضعیف-* می باشند. همچنین اگر µ یک اندازه مثبت باشد در فضای عملگرهای (L₁(µ),X) نیز زیرمجموعه ناتهی باز ضعیف نسبت به گوی یکه که دارای قطر 2 هستند را مشخص می کنیم.

در این پایان نامه فضای متری محدب یکنواخت، 2-محدب یکنواخت، هذلولی گون و نگاشت نامنبسط نقطه به نقطه مجانبی را معرفی می کنیم سپس فرآیند تکرار مان اصلاح شده را روی این نگاشت تعریف می کنیم. همچنین نشان می دهیم که فرآیند تکرار مان اصلاح شده به نقطه ثابت نگاشت T همگراست. در ادامه وجود یک نقطه ثابت منحصربه فرد برای نگاشت های نا منبسط نقطه به نقطه مجانبی در فضای متری هذلولی گون محدب یکنواخت را بررسی می کنیم.

در این پایان‌نامه به بررسی سوال مطرح شده توسطالدرد و وارمانی در مورد وجود بهترین نقطه نزدیکی برای نگاشت‌های انقباض دوری در یک فضای باناخ انعکاسی می‌پردازیم. همچنین نگاشت‌های φ-انقباض دوری را معرفی و وجود بهترین نقطه نزدیکی برای این نگاشت‌ها را بررسی می‌کنیم.