فرض کنیم X یک فضای توپولوژی و A⊆X باشد. x∊X را نقطه‌ی تنهای A می‌گوییم هرگاه مجموعه‌ی باز G در X موجود باشد به‌طوری که داشته باشیم: G∩A={x}. به ویژه اگرA=X ، آنگاه x∊X تنهاست اگر وتنها اگر {x} باز باشد.
در این پژوهش فضای Spec(R) با توپولوژی زاریسکی مورد بحث قرار گرفت، که آن‌را به‌صورت (Spec(R),τ_z ) نشان می‌دهیم. یادآوری می‌کنیم که: در توپولوژی زاریسکی ایده‌آل اول P یک نقطه‌ی تنهاست اگر و تنها اگر اول مینیمال باشد. همچنین یک فضای توپولوژی را فضای پراکنده می‌گوییم هرگاه هر زیرفضای ناتهی آن، یک نقطه‌ی تنها داشته باشد.
در این پژوهش نقاط تنها در فضای توپولوژی دلخواه ) (X,τ را شرح دادیم. اگر پیش‌ترتیب τ‌ - خصوصی سازی شده روی ‌X به اندازه‌ی کافی عضو ماکسیمال داشته باشد، آنگاه نقطه‌یx∈X یک نقطه‌ی تنها در ) (X,τ است اگر‌ و‌ تنها اگر x هم در زیرفضاهای τ‌ - پوچ شده از X و هم در τ - بستار از {x} نقطه‌ی تنها باشد. این نتیجه در زیر فضاهای دلخواه از Spec(R) (که عضو همانی تعویض‌پذیر غیر صفر داشته باشد) و به‌ویژه درMax(R) و Min(R) بکار برده ‌شد. در پایان مشخص شد که چه هنگام فضای Spec(R) یک فضای پراکنده است.
 

در این پایان نامه، ما توصیفی از فضاهای بستاری، تعمیم یافته و یکنوا را ارایه می کنیم.
سپس با تعریف توابع پیوسته در این فضاها، ویژگی های اصلی شان را شناسایی می کنیم.
در آخر فضاهای یکنوای همبند، ‐Zهمبند و قویاً همبند را مورد بررسی قرار می دهیم.

r-فشرده حقیقی دراین پایان نامه ،تعمیم جدیدی ازفضاهای فشرده حقیقی به نام فضاهای r-فشرده حقیقی رامعرفی می کنیم که

مبنی برفراپالایه شامل زیرمجموعه های - منظم است.هم چنین بعضی ازویژگی های فضای معرفی شده ی جدید رابررسی می کنیم.

درادامه فضاهای تقریبافشرده حقیقی،تقریبا* فشرده حقیقیوc-فشرده حقیقی رامعرفی کرده وارتباط آن ها رابافضای موردبحث وبررسی قرارمی دهیم.

 هدف اصلی این پایان نامه بررسی یک زیر حلقه از حلقه توابع پیوسته روی فضای توپولوژی X با مقادیری در یک میدان خطی مرتب F مجهز شده با توپولوژی ترتیب به نام حلقه ی توابع پیوسته با پشتیبان فشرده می باشد که با نماد ck(X,F) نشان داده می شود.

هدف از انجام این پژوهش، بررسی پیشینه پیدایش لگاریتم و روشهای محاسبه آن، از گذشته تا‏کنون و چگونگی پیدایش قوانین حاکم بر آن می‏باشد. در فصل اول تعریف لگاریتم و قضایای آن مورد بررسی قرار گرفته است و نگاهی هم به تاریخچه پیدایش آن شده است. در فصل دوم به اثبات گنگ بودن عدد نپر پرداخته‏ایم و در مورد اینکه این اثبات توسط اویلر و یا شاگردش لامبرت بوده، بحث شده است. در فصل سوم به بررسی جداول لگاریتم توسط ادوارد سنگ پرداخته و اسامی ریاضیدانانی که روی جداول لگاریتم کار کرده‏اند به اختصار آورده شده است و راجع به روشهای محاسبه لگاریتم اعداد مطالبی آورده‏ایم. در بخش دوم از فصل سوم نیز به گسترش لگاریتم در کشور اسپانیا در قرن 17و 18 و تاثیر آن در علوم آن دوره پرداخته و اسامی کتابها و دانشمندانی که در ضمینه لگاریتم کار کرده‏اند، آورده شده است. در فصل چهارم کاربرد لگاریتم را در علوم مختلف از جمله محاسبه شدت زلزله، صدا، شیمی، موسیقی و همچنین کاربرد عدد نپر در بحث رشد و زوال در مباحثی مانند پیش‏‏بینی جمعیت و رشد باکتری‏ها گفته شده است، که در مورد کاربرد لگاریتم در علم موسیقی مطلب به تفصیل آورده شده است. بالاخره در فصل پنجم و پایانی راجع به تاثیر رایانه در آموزش ریاضی بحث شده و به آموزش لگاریتم بوسیله نرم‏افزارهایی مانند فلش و جئو جبرا پرداخته که به دانش‏‏آموز کمک می‏کند که با توجه به تجسم کردن درک بهتری از خواص لگاریتم داشته باشد.

 چکیده: هدف از انجام این پژوهش، بررسی مفاهیم بی‌نهایت، بی‌نهایت کوچک و سری‌های نامتناهی و همچنین استفاده از رویکرد‌های متفاوت دانشمندان در طول تاریخ با این مفاهیم برای بهبود شیوه‌های آموزش آنهاست. این پژوهش به شیوه‌ی توصیفی و کتابخانه‌ای تهیه گردیده است و در آن سعی شده تا سیر تحول تاریخی کشف مفاهیم بی‌نهایت، بی‌نهایت کوچک و سری‌های نامتناهی ارائه شود و تا حد امکان روش‌های به کار گرفته شده توسط ریاضی‌دانان در برخورد با این مفاهیم در طول تاریخ آورده شود. که نمونه‌ی خوبی است برای نشان دادن این موضوع که با پژوهش‌های تاریخی درباره‌‌ی یک مفهوم می‌توان روش‌های ساده‌تری را برای آموزش آن مفهوم به دانش‌آموزان و دانشجویان پیدا کرد و در نتیجه اهمیت مطالعه تاریخ ریاضیات را تایید می‌کند.