این رساله به ارایه دو بررسی کلی پیرامون توزیع های وزنی می پردازد که شامل بررسی پایایی در
توزیع های وزنی و همچنین بررسی میزان اطلاع در مشاهدات وزنی است. دو مفهوم متفاوت از پایایی
در توزیع های وزنی با نام فرم پایایی و خانواده پایایی معرفی شد و با ارائه رده ای از توابع وزنی مولد
پایایی (فرم پایایی و خانواده پایایی)، خانواده توزیع های پایا مورد بررسی قرار گرفت. نتایج این بررسی
نشان داد که می توان فرم پایایی و خانواده پایایی را به عنوان مشخصه ی توزیع ها در خانواده توزیع های
مهمی چون خانواده نامنظم، خانواده نمایی-نامنظم و خانواده های گروهی مکانی، مقیاسی و مقیاسی
مکانی معرفی کرد. شرایط لازم و کافی برای فرم پایایی توزیع ها در خانواده های مذکور تحت رده توابع
وزنی مربوطه ارایه شده است. همچنین در این رساله، اطلاع فیشر در توزیع های وزنی مضاعف در
خانواده نمایی، توزیع های وزنی فرم پایا در خانواده های گروهی مکانی، مقیاسی و مکانی-مقیاسی و
توزیع های نمایی-وزنی در خانواده های گروهی مذکور بررسی شد. نتایج این بررسی نشان می دهد،
اطلاع فیشر در توزیع های وزنی مضاعف در خانواده نمایی می تواند به صورت تابع خطی از اطلاع
فیشر در توزیع اولیه و همچنین، تابع خطی از اطلاع فیشر در توزیع یک بار وزنی شده بدست آید.
شرایطی که تحت آن، توزیع های وزنی مضاعف می تواند آ گاهی دهنده تر از توزیع اولیه باشد، ارایه شد.
همچنین بررسی ها نشان می دهد، فرم پایایی در میزان آ گاهی دهندگی توزیع های وزنی موثر است و
موجب می شود، مشاهدات وزنی فرم پایا، تحت شرایطی، بتوانند استنباط قوی تری برای پارامتر های
جامعه نسبت به مشاهدات اصلی نتیجه دهند. به علاوه، با ارایه شرایطی نشان داده شد، توزیع های
نمایی-وزنی در خانواده های گروهی مذکور، تحت شرایطی، بتوانند آ گاهی دهنده تر از توزیع های اولیه
باشند

توزیع‌های آماری پایه مدل‌بندی و تحلیل پارامتری داده‌ها در علم آمار هستند. در میان این توزیع‌ها، خانواده‌ی توزیع‌های متقارن بدلیل وجود داده‌های متقارن در اغلب شاخه‌های علوم، مورد توجه قرار گرفته‌اند. در این میان، توزیع نرمال به دلیل ویژگی‌هایی که این توزیع داراست از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. اما در برخی از علوم و پدیده‌ها داده‌هایی یافت می‌شوند که متقارن نیستند یا به عبارت دیگر دارای چولگی هستند. برای مدل‌بندی این نوع داده‌ها، خانواده‌‌ی توزیع‌های چوله- متقارن براساس خانواده‌ی توزیع‌های متقارن ایجاد شده است که مشهورترین آن‌ها توزیع‌های چوله- متقارن به صورت آزالینی (1985)، رده‌ی توزیع‌های چوله- متقارن دو تکه‌ای (آرلانو واله و همکاران، 2005) و توزیع‌های چوله- متقارن با مکانیسم چولگی هستند. اما این توزیع‌ها توانایی مدل‌ کردن داده‌های دو مدی یا تک مدی با کشیدگی زیاد و کم را ندارند. ام آ و جنتون‎(2004)‎مطالعه‌ای را برای افزایش انعطاف‌پذیری توزیع‌های چوله- متقارن به صورت آزالینی انجام داده‌اند. در این رساله روش‌های نوینی را برای انعطاف‌پذیری انواع توزیع‌ چوله-متقارن و استنباط توزیع‌های پیشنهادی ارائه خواهیم نمود و آنها را برای داده‌های واقعی بکار خواهیم برد.

 در این پایان نامه توزیع تقریبی شکل درجه دوم بردار نرمال یا نمایش تصادفی آن به صورت مجموع وزنی از متغیرهای کای دو نامرکزی بررسی شده است. در حالتی که ماتریس شکل درجه دوم دارای توزیع ویشارت باشد، نمایش تصادفی شکل درجه دوم را به صورت مجموع وزنی از متغیرهای نامرکزی F بدست آورده‌ایم. با استفاده از نمایش تصادفی شکل درجه دوم، تابع مولد گشتاور آن محاسبه شده و گشتاورهای شکل درجه دوم از هر مرتبه ای بدست آمده¬اند. چون تابع مولد گشتاور و گشتاورها شکل درجه دوم معلوم می‌باشند، از روش‌های تقریبی برآورد تابع چگالی نقطه زینی و آنتروپی ماکسیمم استفاده شده است. همچنین با استفاده از مشخصه اشتاین در خانواده توزیع نمایی که بیانگر یک رابطه بازگشتی بین گشتاورها می‌باشد، یک روش عددی برای تقریب تابع چگالی شکل درجه دوم نامعین، به صورت چگالی نمایی چند پارامتری پیشنهاد شده است. به عنوان یک کاربرد، توزیع تابع ممیزی درجه دوم بررسی شده و نشان داده شده است که مجموع وزنی از متغیرهای کای دو نامرکزی است. با مثال‌های شبیه سازی شده و داده های واقعی، روش‌های تقریب توزیع شکل درجه دوم با هم مقایسه شده‌اند. نتایج بیانگر مناسب بودن تقریب پیشنهادی در مقایسه با دو روش دیگر در بیشتر مثال‌های ارائه شده می‌باشد. همچنین در حالتی که فقط یک نمونه تصادفی از یک متغیر پیوسته داشته باشیم و اطلاعات اضافی نظیر معلوم بودن گشتاورها در اختیار نباشد، روش پیشنهادی را می‌توان بکار برد.