در این پایان‌نامه‏، دسته‌ای از مسائل برنامه‌ریزی غیرخطی با محدودیتهای برابری و نابرابری مطرح می‌شوند. در ابتدا مشکل اصلی تبدیل کردن مسئله به مسئله‌ی هم‌ارز ساده‌تر با قیود نامساوی است. سپس با الهام گرفتن از روش برنامه‌ریزی درجه دوم متوالی و روش دستگاه معادلات خطی‏، مدل جدیدی از الگوریتم برنامه‌ریزی درجه دوم متوالی برای حل مسئله‌ی اصلی پیشنهاد داده می‌شود. در هر تکرار‏، دستورالعمل جست‌و‌جو توسط ترکیب دوجهت که به ترتیب از حل زیرمسئله‌ی برنامه‌ریزی درجه دوم و دستگاه معادلات خطی بدست می‌آیند‏، تولید می‌شود. علاوه براین به منظور غلبه کردن بر اثر ماراتوس‏، مرتبه بالاتر اصلاح دستورالعمل از حل دستگاه معادلات خطی دیگری بدست می‌آید. دو دستگاه معادلات خطی دارای ماتریس ضرایب یکسان می‌باشند و ما بعد از تعداد متناهی تکرار تنها به حل یکی از آنها نیاز داریم. با استفاده از تکنیک جستجوی جدید‏، الگوریتم پیشنهاد شده دارای همگرایی سراسری تحت فرضیات مناسب می‌باشد. درنهایت برخی نتایج عددی برای نشان دادن مفید و اثربخش بودن الگوریتم پیشنهاد داده شده‏، معرفی می‌شوند.

در مسئله برنامه ریزی هندسی چند هدفه، بیش از یک تابع هدف وجود دارد. معمولا جواب بهین یکتا برای بهینه سازی تمامی توابع هدف وجود ندارد بنابراین تحت این شرایط ، تصمیم گیرندگان همیشه به جای این جواب بهین در جستجوی جواب قابل قبول هستند. در سال های اخیر از چند روش برنامه ریزی ریاضی مانند برنامه ریزی فازی، برنامه ریزی آرمانی و روش های وزن دهی برای رسیدن به جواب توافقی استفاده شده است. در این پایان نامه از روش  epsilon ‎  قید برای رسیدن به جواب غیر مغلوب استفاده می شود. با استفاده از این روش‎‎یک راه حل کوتاه برای پیدا کردن جواب غیر مغلوب در مسائل برنامه ریزی چند هدفه ارائه می شود. علاوه بر‎ این مسئله برنامه ریزی چند هدفه با استفاده از تکنیک برنامه ریزی فازی برای رسیدن به جواب توافقی حل می شود. در پایان چند مثال عددی با استفاده از هر دو روش حل خواهند شد و جواب های به دست آمده با هم مقایسه می شوند.

دراین پایان نامه به مسائل برنامه ریزی خطی با ضرائب بازه ای پرداخته می شود. جواب های بهینه ضعیف و جواب های بهینه قوی را برای یک برنامه ریزی خطی بازه ای تعریف می کنیم . شرائط لازم و کافی برای اینکه بردار داده شده یک جواب بهینه قوی باشد را بررسی می کنیم. شرایطی را برای بدست آوردن جواب های بهینه قوی در یک مسئله برنامه ریزی خطی با ضرائب بازه ای بیان می کنیم . راه حل های بهینه ازمسائل برنامه ریزی خطی با ضرائب بازه ای را در نظر گرفته و شرایط لازم وکافی برای اینکه یک مسئله برنامه ریزی خطی بازه ای (A^I و b^I) قوی و(A^I و b^I و c^I) قوی باشد را بدست می‌آوریم . روش های حل اینگونه مسائل را ارائه داده و با چند مثال به تشریح آن می پردازیم.

هدف این پایان‌نامه، ارائه الگوریتم برنامه ریزی آرمانی فازی(FGP) برای حل مسائل برنامه‌ریزی دوسطحی درجه دوم (QBLPP) با یک تصمیم گیرنده در سطح بالا و پایین می‌باشد. الگوریتم برنامه‌ریزی آرمانی فازی برای حل مسائل برنامه‌ریزی دو سطحی درجه‌ی دوم (QBLPP)ارائه شده است. این الگوریتم برای حل مسائل برنامه‌ریزی سه سطحی درجه دوم (QTLPP) تعمیم داده شده است. در فرمول‌بندی مدل از مساله، تابع عضویت درجه دوم با مشخص کردن بهترین جواب انفرادی تابع هدف درجه دوم تحت محدودیت‌های سیستم ساخته می شود. تابع عضویت درجه دوم به وسیله سری تقریبی تیلور مرتبه اول در بهترین جواب انفرادی به یک تابع عضویت خطی معادل تبدیل می‌شود. برای جلوگیری از وقفه(بن بست) در تصمیم‌گیری ممکن است آزادسازی همزمانی روی متغیرهای تصمیم با ارائه کران ترجیحی برای هر سطح تصمیم‌گیرنده صورت گیرد سپس از روش برنامه ریزی آرمانی فازی برای رسیدن به بالاترین درجه از هریک از آرمانهای عضویت به وسیله حداقل کردن متغیرهای انحرافی خود و در نتیجه بدست آوردن جواب بهین رضایت‌بخش برای همه تصمیم‌گیرنده‌ها استفاده شده است . مثال‌های عددی به منظور اثبات کارایی الگوریتم پیشنهادی ارائه شده است.

مسئله ی واگذاری یک حالت خاص از مسئله ی حمل و نقل است که در آن m کار باید به m ماشین تخصیص داده شود. اگر کار i ام، به ماشین j ام نسبت داده شود هزینه ای برابر با Cij به همراه خواهد داشت.می خواهیم واگذاری را به شکلی انجام دهیم که در مجموع کمترین هزینه را به دنبال داشته باشد.
در این پایان نامه مدل واگذاری را برای ارائه یک برنامه غذائی مناسب با اهداف تعیین شده گسترش می دهیم. ابتدا تعدادی از مدل های ریاضی ارائه شده برای رژیم غذایی را بررسی کرده و سپس غذاهایی که در غذاخوری های دانشجوئی در دانشگاه چمران ارائه می شوند را از نظر هزینه و کربوهیدرات، چربی، کالری و پروتئین مورد سنجش و اندازه گیری قرار داده و براساس مدل واگذاری برنامه غذایی یک هفته غذاخوری را برای دانشجویانی که در سلامت کامل هستند با هدف کمینه کردن هزینه یا چربی یا قند و بیشینه کردن کالری و یا پروتئین ارائه می دهیم بطوری که حداقل نیاز روزانه غذائی دانشجویان برآورده شود.

 چکیده
 برنامه ریزی با اعداد صحیح یکی از مسائل NP HARDاست که تا کنون روشهای متنوعی برای آن ارائه گردیده است. بهینه سازی چند هدفه نیز به عنوان یک ابزار مدلسازی، از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
 Przyblski و همکارانش در سال 2010 الگوریتم دو فازی را برای حل مسائل چند هدفه با اعداد صحیح ارائه دادند ، به طوری که اول نقاط غیر مغلوب راسی شناسایی می شوند سپس بقیه نقاط غیر مغلوب بدست می آیند؛ چون جوابهای بهین از این مجموعه بدست خواهند آمد.
در این پایان نامه الگوریتمی برای محاسبه نقاط غیر مغلوب راسی در یک مجموعه ی برآمده از یک مساله چند هدفه با اعداد صحیح را ارئه می دهیم . روند کلی الگوریتم تجزیه ی فضای وزن و به طور همزمان پیدا کردن نقاط غیر مغلوب راسی می باشد.
در اینجا مجاورت برای نقاط غیر مغلوب راسی بر اساس وجود وجه های مشترک بین مجموعه های وزن متناظر با آنها می باشد .
این الگوریتم روی مساله ی واگذاری تشریح و پیاده سازی شده است.

 

 نظریه اعداد فازی نقش مهمی در حوزه¬های علوم مختلف دارد. اخیراٌ دانشمندان مفهومی از اعداد فازی، به نام اعداد فازی با مقادیر بازه¬ای معرفی کرده¬اند که جایگاه ویژه¬ای در محیط های تصمیم گیری دارند. اما زمانی می¬توانیم از آن¬ها در تصمیم گیری¬ها استفاده کنیم، که بتوانیم اهمیت و جایگاه آن¬ها را برای تصمیم گیری مدیر در محیط مشخص کنیم. بنابراین رتبه بندی اعداد فازی با مقادیر بازه¬ای موضوعی مهم برای تصمیم گیرنده در محیط فازی و در نظریه¬ی مجموعه فازی است. یه و چین هر کدام با معرفی تابع دقت برای مجموعه¬های فازی شهودی با مقادیر بازه¬ای به رتبه بندی این اعداد پرداخته¬اند. چیا نگ و شی سو، از فاصله¬ی علامت¬دار برای قطعی کردن و رتبه بندی اعداد فازی با مقادیر بازه¬ای استفاده کرده¬اند. با استفاده از روش پیشنهادی می توان به رتبه بندی دقیق¬تری از اعداد فازی با مقادیر بازه¬ای پرداخت، با این مزیت که تقریب بهتری از عدد مورد نظر می¬دهد و می¬توان در مسائل زندگی واقعی از آن استفاده کرد. در پایان چند مثال عددی جهت روشن شدن موضوع بیان گردیده است.

در این پایان¬نامه به بررسی مدل¬های چندهدفه در مسئله بهینه سازی سبد سهام پرداخته می¬شود. مسئله بهینه¬سازی سبد سهام (Optimization Portfolio) یکی از ستون¬های ریاضیات کاربردی به شمار می¬رود. مسئله انتخاب پرتفوی یکی از انواع مختلف مسائل غیرخطی چندهدفه می¬باشد. همیشه در علوم مالی این مسئله وجود داشته است که چگونه سرمایه¬گذاری¬ها را برای تشکیل یک سبد بهینه ترکیب کنند بحث بر روی این مسائل را انتخاب سبد بهینه (Portfolio Selection) می¬نامند که پیشینه تاریخی آن به دهه¬ی 1950 برمی¬گردد. رهیافت مارکویتز (Markowitz) برای حل مسئله مبتنی بر انتخاب سبد بهینه با کمترین ریسک و بیشترین بازده یکی از پرکاربردترین نظریه¬های مطرح در سطح بازارهای مالی بوده است. مارکویتز در سال1952 با در نظر گرفتن فضای دو بعدی ریسک و بازده، مفهومی به نام «سبد کارا» را به شرح زیر معرفی کرد: سبد کارا، سبدی است که دارای حداقل واریانس در ازای بازده معین یا دارای حداکثر بازده در ازای ریسک معین باشد. در فضای دو بعدی ریسک و بازده، سبدهایی که دارای این ویژگی باشند روی منحنی به نام «مرز کارا» قرار می¬گیرند.
در این پایان¬نامه، ابتدا مدل کلاسیک میانگین- واریانس مارکویتز را مطرح می¬کنیم. به منظور کاراتر کردن این رهیافت، ایده استفاده از گشتاور مرتبه بالاتر در مسئله بهینه سازی سبد در سال¬های اخیر مطرح بوده است. این ایده اولین بار توسط کونو و همکاران (1990) مطرح شد. با در نظرگرفتن اینکه، اگرتوزیع بازده کالاها حول میانگین نامتقارن باشد گشتاور سوم یک نقش مهم را بازی می¬کندو در حالت خاص، سرمایه گذار اگر امکان انتخاب بین سبدهایی با میانگین و واریانس برابر را داشته باشد سبدی را ترجیح می¬دهد که گشتاور سوم بالاتری را دارد. در ادامه مدل¬های¬ چندهدفه که تفاوتشان با مدل کلاسیک مارکویتز در اینست که سرمایه¬گذاران به غیر از دو عامل ریسک و بازده ملاحظات دیگری را در هنگام تشکیل پرتفوی خود مانند افزایش نقدینگی یا کاهش میزان فروش استقراضی و... را در نظر می¬گیرند و در این راستا مسئله برنامه¬ریزی چندهدفه تصادفی بوجود می¬آید که برای حل به مسائل معادل قطعی تبدیل می¬شوند. در این پایان¬نامه با در نظر گرفتن این ایده، مسئله انتخاب سبد بهینه را حل می¬کنیم. تاکید ما بر پیاده سازی در محیط متلب خواهد بود. داده¬های مورد مطالعه بازار بورس اوراق بهادار تهران می¬باشد.
 

در این پایان نامه ما مسئله برنامه ریزی غیر خطی کراندار با اعداد صحیح را درنظر می گیریم. با اجرای آزمایشهای مناسب یک روش تقریبی ارئه می دهیم. ابتدا یک تابع کمکی تعریف می کنیم وخاصیت همگرایی الگوریتم را براساس آن اثبات می کنیم. براساس آن تابع یک الگوریتم طراحی می کنیم و الگوریتم را با مجموعه ای از مسائل آزمایش می کنیم، و نشان می دهیم ،این الگوریتم برای آزمایش های صورت گرفته کارآمد و موثر است. برای بیان مسئله ابتدا به تعاریفی که در زیر آمده است نیازداریم: مینیمم مطلق و نسبی گسسته: مسئله عدد صحیح غیر خطی را به صورت زیر در نظر میگیریم:به طوریکه x بسته و کراندار و a , b نقاط صحیح در می باشد . مجموعه از نقاط صحیح در . تعریف 1: به ازای هر مجموعه اعداد صحیح که به آن همسایگی از نقاط صحیح x گویند،اگر به طوری که ها بردارهای nبعدی با مختصات iام یک باشد،و بقیه مولفه های صفر. تعریف 2: یک نقطه صحیح ،نقطه مینیمم گسسته محلی نامیده می شود،اگر به ازای تمام . تعریف 3: یک نقطه به آن نقطه مینیمم گسسته مطلق گفته می شود،اگر به ازای تمام