ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻔﻬﻮﻣﯽ اﺳﺎﺳﯽ در آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ آن می‌ﺗﻮان رﻓﺘﺎر ﺗﺼﺎدﻓﯽ پدیده‌های فیزیکی را توضیح داد. در آمار بدون دانستن تابع چگالی احتمال آماره‌های حاصل از یک نمونه تصادفی، امکان انجام استنباط از نمونه تصادفی برای جامعه وجود ندارد. اﻟﺒﺘﻪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺮآوردﮔﺮﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ امکانﭘﺬﯾﺮ نیست. به‌منظور دست‌یابی به تابع چگالی می‌توان از روش‌های پارامتری و ناپارامتری استفاده کرد. در ﺑﺮآورد ﻧﺎﭘﺎراﻣﺘﺮی، شکل ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ f ﻣﺠﻬﻮل میﺑﺎﺷﺪ و در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ داده‌ها باید برآورد f را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﻨﺪ. مزیت روش‌های ناپارامتری این است که داده‌ها از قید محدودیت‌های ایجاد شده در روش‌های پارامتری آزاد شده و می‌توانند تمام ویژگی‌های خود را ابراز کنند. روش‌های مختلفی در برآورد چگالی ناپارامتری وجود دارد. برآوردگر کرنل با توابع کرنل متقارن روشی معمول و کارا در برآورد چگالی به روش ناپارامتری می‌باشد. با این وجود در برخورد با داده‌های اکیدا مثبت، این برآوردگر دارای مسئله مرزی می‌باشد، به این معنی که اریبی برآورد در نقاط نزدیک به مرز نسبت به نقاط دورتر از آن قابل ملاحظه است. یکی از روش‌های جدید تصحیح اریبی در برخورد با مسئله مرزی استفاده از کرنل‌های نامتقارن است که دامنه آن‌ها با چگالی تحت برآورد سازگار است. در این پایان نامه روش‌های مختلف برخورد با مسئله مرزی که توسط محققین مختلف پیشنهاد شده است مرور می‌شود. سپس دو کلاس از روش‌های اصلاح اریبی ضربی (MBC) با استفاده از کرنل‌های نامتقارن به‌عنوان یک روش اصلاح مسئله مرزی با جزئیات تحلیل شده و کارایی این دو کلاس از برآوردگرها با برآوردگرهای تصحیح اریبی دیگر مقایسه می‌گردد.

در رگرسیون ناپارامتری برای حذف اغتشاش از یک سیگنال و برآورد آن، می¬توان از تکنیک هموارسازی استفاده کرد. برای هموار کردن یک مجموعه داده روش¬های متنوعی مانند روش کرنل، هموارسازی اسپلاین، موجک و ... وجود دارد. با این وجود، بر حسب ریسک بهینه، دیگر روش¬های موجود بهتر از روش موجکی نیستند. از روش¬های هموارسازی موجکی با عنوان روش¬های انقباض موجکی یاد می¬شود. برای اولین بار دانهو و جانستون (1994) برآوردگرهای موجک غیر خطی در رگرسیون ناپارامتری را به¬وسیله¬ی آستانه¬سازی معرفی کردند. برای انتخاب مقدار آستانه برآورگرهای مختلفی توسط محققین پیشنهاد شده است که این برآوردگر¬ها از دامنه¬ی وسیعی از روش¬های بیزی و کلاسیک می¬آیند. در این پایان¬نامه روش¬های کلاسیک شامل FDR، CV، Universal وCMWS ؛ روش¬های بیزی شامل CEB-Mean Kil و E-Bayes Thresh؛ روش¬های بلوکی شامل Visu Shrink، Sure Shrinkو Sure Block و هم¬چنین دو الگوریتم BABTE و BITUP برای آستانه¬سازی دوتایی مورد مطالعه قرار گرفتند. نتایج حاکی از شبیه¬سازی¬های انجام شده نشان داد که روش آستانه¬سازی دوتایی BABTE نسبت به دیگر روش¬های بیان شده عملکرد بهتری دارد. در انتهای پایان¬نامه داده¬های نفت سبک ایران به¬صورت ماهانه از نوامبر 1991 تا فوریه 2013 با استفاده از روش مطرح شده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. هم-چنین تاثیر هموارسازی بر الگوسازی و پیش¬بینی دو مدل در کلاس-های باکس-جنکینز و هموارسازی نمایی مطالعه شد.

یک سری¬ زمانی می¬تواند به¬وسیله¬ی یک فرآیند موجکی ایستای موضعی (LSW) و در نظر گرفتن طیف موجکی تکاملی ( EWS) مدل¬بندی شود. طیف موجکی تکاملی را می¬توان به¬وسیله دوره¬نگار موجکی آن برآورد کرد. دوره¬نگار موجکی اولیه برآوردی اریب و ناسازگار برای EWS است. برای دست یافتن به سازگاری باید دوره-نگار موجکی اولیه را هموار کرد. به¬منظور هموارسازی دوره¬نگار موجکی می¬توان از روش¬های انقباض موجکی استفاده کرد. در روش¬های انقباض موجکی فرض می¬شود که اغتشاشات دارای توزیع نرمال هستند. در این پایان¬نامه برای هموارسازی دوره¬نگار موجکی از روش انقباض موجکی بیزی و روش تبدیل پایا استفاده می¬کنیم. نتایج حاکی از این است که روش انقباض موجکی بیزی نسبت به روش تبدیل پایا در هموارسازی دوره¬نگار موجکی عملکرد بهتری دارد.

بررسی مانایی جز اولین و اساسی¬ترین اقدامات، در آنالیز سری¬های زمانی است. بنابراین آزمون‌های مانایی همواره مورد توجه محققین بوده است. از آن‌جا که در سری¬های زمانی، انواع مختلف نامانایی وجود دارد، بنابراین به آزمون¬های مختلف برای بررسی مانایی نیاز می¬باشد. تاکنون آزمون¬های مختلفی برای بررسی مانایی سری¬های زمانی توسط محققین پیشنهاد شده است که برخی از این آزمون¬ها مانایی در میانگین و برخی دیگر مانایی در اتوکواریانس را بررسی می¬کنند. هم‌چنین برخی از آزمون¬ها در حوزه زمان طراحی شده و برخی دیگر بر پایه دوره‌نگار و خواص طیفی می¬باشند. موجک¬ها به دلیل دارا بودن خاصیت موضعی در زمان و مقیاس ابزار مناسبی برای بررسی سری¬های نامانا هستند. در سال‌های اخیر، برخی محققین با استفاده از موجک¬ها آزمون¬هایی برای بررسی مانایی سری¬های زمانی پیشنهاد کرده¬اند. در این پایان نامه، آزمون¬های مختلف مانایی برای سری¬های زمانی مطالعه خواهد شد. هم‌چنین، مبحث فواصل اطمینان مجانبی برای اتوکواریانس¬های متغیر با زمان در سری¬های موضعی مانا، بر اساس موجک¬ها مطرح می‌شود. در ادامه با استفاده از داده¬های شبیه‌سازی شده توانایی روش¬های پیشنهاد¬شده را خواهیم سنجید و مانا بودن داده¬های مربوط به داده‌های لرزه‌‌ای و بازده سهام ایران خودرو را بررسی کرده و برای تابع اتو¬کواریانس موضعی داده‌های لرزه‌ای، فاصله اطمینان به¬دست خواهیم آورد.

فواصل ممیزی کولبک-لیبلر و چرنوف به خوبی برای ممیزی سری‌های زمانی ایستا توسعه یافته‌اند. در چند دهه‏‌ اخیر نظریه موجک‌ها در بسیاری از زمینه­‌های علمی توسعه یافته است. هدف عمده در این پایان نامه‏، تقریب­ فواصل ممیزی کولبک-لیبلر و چرنوف در حوزه موجک‌ها برای ارایه معیارهایی جهت ممیزی سری‌های زمانی ایستا و ناایستا است. معیارهای ممیزی کولبک-لیبلر و چرنوف با استفاده از موجک‌های بدون زیر نمونه گیری ‎(‎DWT)‎‎ برای ممیزی سری‎‏‌های زمانی ایستا تقریب زده شده‌اند. با این وجود در بسیار‏ی از موارد با ممیزی فرآیندهایی روبرو‎‎ می‏‌شویم که لزوماً ایستا نیستند. یک کلاس مهم از این سری‌ها، سری‌های با حافظه‌ی بلند مدت هستند که ‏در این پایان نامه به بررسی ممیزی مربوط به آن‌ها نیز پرداخته شده است. در پایان عملکرد تقریب‌های ارائه شده را به وسیله مجموعه‌ای از داده‌های شبیه سازی شده و واقعی مورد تجزیه و تحلیل قرار دادیم. نتایج حاکی از پایین بودن نرخ خطای ممیزی‎‎‎ معیارهای پیشنهادی‎ ‎‎است.