معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری اخیراً به وسیله‌ی روش‌های بسیاری حل شده‌اند از جمله این روش‌ها می‌توان به روش تجزیه آدومیان‏، روش تبدیل دیفرانسیل‏، روش هم‌محلی و تقریب بسط تیلور اشاره نمود. در این پایان‌نامه روش جدیدی تحت عنوان روش هم‌محلی هایبرید برای حل این دسته از معادلات ارائه می‌دهیم که ‏ترکیبی از یک هم‌محلی غیرچندجمله‌ای استفاده شده روی اولین زیربازه و هم‌محلی چندجمله‌ای تکه‌ای مش‌بندی شده روی بقیه بازه‌ها می‌باشد. در این پایان نامه به آنالیز و تحلیل مرتبه همگرایی این روش خواهیم پرداخت. ‏برای تحلیل و بررسی دقت و کارایی روش عددی ارائه شده‏، به حل چند مثال و مقایسه‌ی جواب تقریبی با جواب دقیق مساله خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه‏، روش کالوکیشن تصویری لژاندر گسسته و گالرکین تصویری لژاندر گسسته را برای تقریب جواب معادله انتگرالی همرشتاین نوع آمیخته با هسته های هموار بررسی می نماییم. همگرایی جوابهای گسسته تقریبی مورد بحث و بررسی قرار می گیرد و همچنین نرخ همگرایی آنها را نیز بدست می آوریم. در ادامه نشان خواهیم داد وقتی که روش انتگرال گیری عددی دارای دقت معینی است‏، نرخ همگرایی برای روش های کالوکیشن تصویری لژاندر و گالرکین تصویری لژاندر‏، حفظ می شود. همچنین برای روش تکراری لژاندر-گالرکین گسسته‏، نرخ فوق همگرایی را بدست می آوریم. با انتخاب نقاط گره ای کالوکیشن و نقاط انتگرال گیری یکسان‏، برای روش تکراری لژاندر-کالوکیشن نرخ فوق همگرایی نیز بدست می آید.برای تحلیل و بررسی دقت و کارآیی روشهای عددی ارائه شده در این پایان نامه به حل چند مثال و مقایسه جواب تقریبی با جواب دقیق مسئله خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه، کاربرد روش های طیفی هم محلی-ژاکوبی را برای رده خاصی از معادلات انتگرال ولترای نوع دوم با هسته منفرد ضعیف مطالعه می کنیم. در ابتدا، با استفاده از چند تبدیل تابع و تغییر متغیر، معادله را به یک معادله انتگرال ولترای معادل در بازه استاندارد [1,1-] تبدیل می نماییم. سپس اپراتور انتگرالی را با استفاده از فرمول کوادراتور گوس-ژاکوبی تقریب می زنیم. برای روش طیفی هم محلی-ژاکوبی، یک تحلیل همگرایی قوی تحت این دو فرض که تابع هسته و تابع منبع به اندازه کافی هموار باشند، به دست می آوریم. در پایان، چند مثال عددی را برای شرح دادن نتایج نظری، می آوریم.

در این پایان نامه یک معادله انتگرال ولترا-همرشتاین غیر خطی نوع دوم با هسته منفرد ضعیف را که بوسیله یک اپراتور فشرده تعریف شده در نظر می گیریم، اساس این روش استفاده از درونیاب نیسترم بر معادله انتگرال با بکار گیری نقاط گاوس-رادو است. در ادامه همگرایی روش فوق را بررسی نموده و تخمینی برای خطای روش بدست می آوریم و برای بالا بردن دقت همگرایی، از یک تبدیل هموار ساز استفاده می نماییم. در پایان روش ارائه شده در این پایان نامه را در حل تعدادی مثال به کار گرفته و نتایج عددی را با دیگر روش ها که در برخی از مراجع ارائه شده اند، مقایسه خواهیم نمود.