مفصلها توابعی هستند که توابع توزیع چند متغیره را به توابع توزیع حاشیه ای آنها پیوند می دهند و توزیعهای حاشیه ای را از ساختار وابستگی جدا می‌سازند به همین جهت در مدلبندی بین متغیرهای وابسته استفاده می شوند. اما محدودیت هائی نیز در روشهای ساخت و مدل‌بندی داده ها با استفاده از این توابع وجود دارد؛ در برخی از توابع مفصل به دلیل محدود بودن دامنه همبستگی، امکان مدلبندی بین متغیرهای با همبستگی بالا وجود ندارد. به عنوان نمونه، در مفصل فارلی-گامبل-مورگنسترن که یکی از توابع مفصل پرکاربرد است، دامنه‌ ی همبستگی محدود می‌باشد. همچنین توابع مفصل، به بیان یک ساختار وابستگی معین در مدلبندیها می پردازند در حالی که در برخی از فرایندها ممکن است با یک وزن از ساختارهای وابستگی مواجه شویم و مهمتر از این دو، متقارن بودن توابع مفصل است. تقارن توابع مفصل بیانگر نقش یکسان متغیرها در توزیع توام آنها می باشد که این پیش شرط، علاوه بر محدود نمودن دامنه کاربرد توابع مفصل، قادر به توصیف بسیاری از مدلها در فرایندهای طبیعی نمی‌باشد.
با هدف رفع محدویتهای مذکور، در این رساله، یک تعمیم از مفصل فارلی-گامبل-مورگنسترن بر حسب مقاطع چندجمله ای از درجه n در جهت بهبود دامنه همبستگی در راستای تحقیقات انجام شده با استفاده از مفصلهای مقدار فرین معرفی شده است. همچنین به منظور فایق آمدن بر محدودیت تقارن در توابع مفصل، یک کلاس نامتقارن از تعمیم معرفی شده ارائه می شود. در ادامه، کلاس نامتقارن دیگری از تعمیم مفصل گامبل-بارنت بر حسب تعریف توابع مختلفی از تابع توزیع حاشیه‌‌ای یکنواخت معرفی شده است که ویژگیهای این کلاس ارائه و به صورت کاربردی و شبیه سازی به ارزیابی زیرخانواده های تولید شده از این کلاس در مدل‌بندی داده های مربوط به خطر ابتلا به دیابت پرداخته می‌شود. در پایان، به منظور ارتقاء ساختار وابستگی معین در توابع مفصل، یک تعمیم از مفصل کلایتون تحت توابع توزیع وزنی دومتغیره با ساختار وابستگی وزنی، ارائه و کاربرد آن در علوم هیدرولوژی مورد بررسی قرار می‌گیرد. همچنین، اندازه ها و مفاهیم وابستگی در کلاسهای معرفی شده مطالعه خواهد شد.
به طور کلی، تعمیم توابع مفصل، یک رویکرد در معرفی کلاسهائی جدیدی از توابع مفصل است که منجر به استخراج ویژگیها و نتایج مطلوبی در توابع مفصل می شود. از این تعمیمها می توان در تولید زیرخانواده های جدیدی از توابع مفصل و بهبود دامنه همبستگی در برخی از توابع مفصل استفاده کرد. تعمیم توابع مفصل در ساخت توزیع‌های دومتغیره با توابع توزیع حاشیه‌های متفاوت و توزیعهای دومتغیره وزنی مفید می باشند.
 

بررسی ساختار وابستگی و ساخت توزیع‌های چندمتغیره، یکی از موضوعات مهم و اساسی در تحلیل عدم قطعیت بین پدیده‌های مختلف می‌باشد. مفصل‌ها با پیوند بین توزیع‌های حاشیه‌ای متغیرها وسیله‌ای مناسب برای تحلیل ساختار وابستگی آن‌ها و ساخت توزیع‌های چندمتغیره می‌باشند. یکی از چالش‌ها در این زمینه یافتن تابع مفصل مناسب می‌باشد که با افزایش بعد مفصل‏‌ها و محدودیت در ساخت مفصل‌های چندمتغیره، دشوارتر می‌شود. به عبارت دیگر، سختی تعیین توزیع تواُم بین متغیرها تبدیل به چالش تعیین مفصل مناسب می‌شود. فقدان آزمون‌های نیکویی برازش مناسب به ویژه در توابع مفصل چندمتغیره، این مسئله را با مشکلات بیشتری مواجه می‌کند. مفصل‌های ناپارامتری یک راه‌کار مناسب برای رفع این مشکل می‌باشند. مفصل تجربی به عنوان اولین مفصل ناپارامتری معرفی گردید. اما این مفصل به دلیل نقاط ناپیوستگی زیاد، کمتر مورد توجه است. تقریب مفصل‌ها به کمک کرنل روش دیگری است که گاهی اوقات با محاسبات پیچیده و زمان‌بر همراه است. انتخاب پارامتر پهنای باند و روش‌های انتخاب آن نیز همواره مورد بحث بوده است. روش ناپارامتری دیگر، برازش مفصل به کمک سری‌های متعامد است که انتخاب نقطه‌ی برش در آن‌ها از اهمیت ویژه‌ای برخوردار هستند. این روش مانند روش اسپلاین به دلیل تکیه‌گاه نامتناهی جهت رسیدن به سطح تقریب مناسب از جملات زیادی استفاده می‌کند. نظریه‌ی موجک‌ها یکی از مباحث مطرح در ریاضیات است که موجب تقویت استفاده از سرهای متعامد در جنبه‌های کاربردی زیادی گردیده است. در آمار تقریب توابع چگالی و همچنین توابع چگالی مفصل‌ها به کمک موجک‌ها به عنوان یک برازش ناپارامتری مناسب مطرح است. موجک‌های چندگانه دارای ویژگی‌های برتری نسبت به موجک‌ها می‌باشند، سه ویژگی تکیه‌گاه فشرده، متعامد بودن و تقارن را با هم دارا می‌باشند. در حالی که همه موجک‌ها نمی‌توانند به طور همزمان این سه ویژگی را دارا باشند. در این رساله برآنیم مفصل‌ها را به وسیله موجک‌های چندگانه که یک تجسم برداری از موجک‌ها هستند‌، تقریب بزنیم و از آن به عنوان یک برازش ناپارامتری مناسب استفاده کنیم. وجود سه ویژگی نام برده به صورت همزمان در موجک‌های چندگانه، باعث مناسب بودن تقریب و حصول ویژگی‌های مطلوب برای تقریب می‌باشند. تعامد باعث می‌شود ضرایب تقریب به سادگی محاسبه شوند، تکیه‌گاه فشرده، موجب می‌شود که با تعداد جملات کمتری به سطح تقریب مورد نظر برسیم و نهایتاً تقارن سبب می‌شود که توابع با داشتن ویژگی‌های تقارن موضعی و کلی بهتر تقریب زده شوند. تقریب مفصل‌ها به کمک موجک‌های چندگانه مختلف صورت خواهد گرفت. سپس به ارزیابی برازش مفصل مناسب بر اساس معیار کمترین مربعات خطای انتگرالی ($MISE$)، خطای نقطه به نقطه ($PWE$) و آکائیک ($AIC$) خواهیم پرداخت. این تقریب را به کمک آنالیز چندریزه ساز که بین تعداد جملات استفاده شده و سطح تقریب مناسب تعادل برقرار می‌کند، تقویت می‌کنیم. بر اساس نتایج به دست آمده، در ریزه ساز‌های پایین، موجک‌های چندگانه بهتر از موجک‌ها عمل می‌کنند و زودتر از تقریب‌های به دست آمده به وسیله‌ی موجک‌ها به مفصل اصلی همگرا می‌شوند. یکی از مزیت‌های روش مورد استفاده این است که در عمل، ساده‌تر می‌توان به سطح تقریب دلخواه دست یافت. سپس از مفصل تقریبی به کمک موجک چندگانه شبیه‌سازی خواهیم نمود و میزان وابستگی داده‌های اصلی و داده‌های شبیه‌سازی شده را مقایسه خواهیم کرد. برای تقریب مفصل‌ها از موجک‌های چندگانه لژاندر نیز استفاده خواهیم نمود که با یک فرم ساده بسته بر اساس پایه‌های چندجمله‌ای ساخته می‌شوند. قدرت هموار سازی بالای این موجک چندگانه تقریب‌های مناسبی را فراهم می‌کند. مزیت دیگر این موجک چندگانه این است که تکیه‌گاه آن مانند مفصل‌ها $[0,1]$ است و این باعث می‌شود که انتگرال چگالی مفصل تقریب زده شده به کمک آنها همیشه یک شود و نیاز به تصحیح نداشته باشد. همچنین روش‌ مورد استفاده در این رساله-تقریب مفصل‌ها به کمک موجک‌های چندگانه-به کمک یک ساختار انعطاف‌پذیر به نام تابع مفصل زوجی برای تقریب توابع مفصل چندمتغیره و توزیع‌های چندمتغیره استفاده خواهد شد. نهایتاً روش ارائه شده در این پژوهش را برای جنبه‌های کاربردی مختلف از جمله تحلیل وابستگی شاخص‌های مالی و بیمه‌ای به کار خواهیم برد.

در مطالعات مربوط به قابلیت اعتماد و آزمایش‌های طول عمر ممکن است با نمونه‌هایی مواجه شویم که در آنها طول عمر واحدهای آزمایشی به طور نادقیق گزارش شده‌اند. روش‌های ارائه شده در آمار کلاسیک برای برآورد پارامتر توزیع‌های طول عمر در این موارد مناسب نیستند. در چنین شرایطی با استفاده از نظریه مجموعه‌های فازی می‌توان داده‌های نادقیق نمونه را به صورت مجموعه‌های فازی مدل‌بندی نمود. در این رساله به مطالعه برآورد پارامتر برخی توزیع‌های طول عمر بر اساس داده‌های فازی پرداخته می‌شود. توزیع‌های طول عمر نمایی، ریلی و وایبل از معروف‌ترین مدلهای طول عمر هستند که به دلیل انعطاف‌پذیری کاربردهای فراوانی در تحلیل داده‌های قابلیت اعتماد دارند. در ادبیات تحقیق، برآورد پارامتر این مدل‌ها بر اساس روش‌های ماکزیمم درستنمایی و روش‌های بیزی مورد بررسی قرار گرفته است. تعمیم روش‌های فوق برای برآورد پارامترهای توزیع‌های طول عمر بر پایه‌ی داده‌های فازی در این رساله انجام خواهد پذیرفت.
در مطالعات طول عمر، اگر آزمایشگر بخواهد زمان شکست همه‌ واحدهای آزمایشی را مشاهده و ثبت کند باید مدت آزمایش را به اندازه ماکزیمم طول عمر واحدها در نظر بگیرد که این امر عملاً در بیشتر موارد ممکن نیست و منطقی نمی‌باشد. بنابراین با نمونه‌هایی مواجه می‌شویم که اطلاعات کامل بعضی از واحدهای نمونه به دلایلی ثبت نشده‌اند. این محدودیت بوجود آمده در نمونه را سانسور تعریف می‌کنند. انواع طرحهای سانسور معروف در مطالعات عملی عبارتند از: سانسور نوع اول، سانسور نوع دوم، سانسور دوطرفه نوع دوم، سانسور فزاینده نوع اول، سانسور فزاینده نوع دوم، سانسور ترکیبی نوع اول و دوم و سانسور ترکیبی فزاینده نوع دوم. روش‌های استنباطی با استفاده از داده‌های حاصل از طرح‌های مختلف سانسور مورد توجه آماردانان زیادی قرار گرفته است. نتایج ارایه شده در پژوهش‌های انجام شده بر این فرض استوار است که داده‌های طول عمر مشاهده شده مقادیر دقیقی باشند، در حالی‌که در اغلب کاربردهای عملی ممکن است با داده‌های نادقیق مواجه شویم. در این رساله به مساله‌ی برآورد پارامتر توزیع‌‌های طول عمر با استفاده از داده‌های نادقیق سانسور شده می‌پردازیم. ابتدا مشاهدات نادقیق مربوط به آزمایش‌های طول عمر را با مجموعه‌های فازی صورت‌بندی کرده و تعمیم جدیدی از تابع درستنمایی را تحت طرح‌های مختلف سانسور ارائه خواهیم کرد. با فرض آنکه طول عمر واحدهای آزمایشی دارای توزیع نمایی و توزیع ریلی باشند، برآورد پارامتر این توزیع‌ها را بر اساس روش‌های ماکزیمم درستنمایی و رهیافت بیزی به دست خواهیم آورد. در ادامه روش‌های ارائه شده را با استفاده از مطالعات شبیه‌سازی و همچنین مثال‌های کاربردی تشریح و بررسی خواهیم کرد.
در مباحث علم آمار مقایسه بین کمیت‌ها و جامعه‌های مختلف همواره از جایگاه مهمی برخوردار بوده است. در حقیقت می‌توان گفت معرفی روش‌های مقایسه، بخش قابل توجهی از مباحث آماری را به خود اختصاص داده است. این موضوع در تحلیل بقا و بویژه در نظریه قابلیت اعتماد از اهمیت بیشتری برخوردار بوده و روشهای مقایسه‌ی متنوعی مورد مطالعه‌‌ی پژوهشگران قرار گرفته است. استفاده از مدل احتمالی تنش-مقاومت، ، یک شکل مقایسه‌ی بین دو متغیر است که در دهه‌های اخیر بسیار مورد توجه بوده است. با توجه به تعریف قابلیت اعتماد یک سیستم می‌توان گفت اشاره به قابلیت اعتماد یک سیستم دارد که در آن متغیر تصادفی میزان تنش وارد بر سیستم و متغیر تصادفی میزان مقاومت سیستم را نشان می‌دهد. برآورد پارامتر بر اساس روش ماکزیمم درستنمایی و رهیافت بیزی، وقتی که و متغیرهای تصادفی مستقل بوده و مشاهدات مربوط به آنها به صورت نادقیق باشند، اهداف دیگر این رساله را تشکیل می‌دهند.